Του Κωνσταντίνου Σαπαρδάνη
Σήμερα μας φαίνεται δεδομένο και αυταπόδεικτο, αλλά η ύπαρξη του «μηδέν» διέφευγε της σύλληψης μαθηματικών και φιλοσόφων επί αιώνες. Δεν είναι ξεκάθαρο πότε ανακαλύφθηκε ούτε από ποιον, εν μέρει επειδή η χρήση του έχει υποστεί αλλαγές με τον καιρό, αλλά και επειδή εμφανίστηκε σε πολλά μέρη του κόσμου, είτε σαν ανεξάρτητη ανακάλυψη είτε μεταπηδώντας από πολιτισμό σε πολιτισμό. Θεωρείται από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της ανθρώπινης σκέψης, και χωρίς αυτό, τα μαθηματικά θα είχαν κολλήσει κάπου στο 600 μ.Χ., με την άλγεβρα να αδυνατεί να βρει τρόπο να επεκταθεί σε πραγματικά αφαιρετικές ιδέες που θα επέτρεπαν και τη χρήση των αρνητικών αριθμών, η χρησιμότητά των οποίων δεν είχε επισημανθεί στην αρχαιότητα.
Ενώ οι μαθηματικοί άρχισαν αν σκέφτονται την έννοια του μηδενός κατά το 3.000 π.Χ. (και να την απορρίπτουν), δεν ήταν πριν το 200-300 π.Χ. που οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα σύμβολο που εξελίχτηκε σε αυτό που ξέρουμε σήμερα σαν «μηδέν». Οι Βαβυλώνιοι άλλαξαν τη μορφή του συμβόλου αρκετές φορές, από δύο παράλληλες γραμμές μέχρι τα εξής:
Την εποχή που τα μαθηματικά ήταν μόνο μια μέθοδος για να μετράμε φυσικά αντικείμενα και να λύνουμε προβλήματα της άμεσης εμπειρίας μας, δεν είχε παρουσιαστεί η ανάγκη ύπαρξης τέτοιου συμβόλου. Για να πει κάποιος ότι έχει «0 καμήλες», θα έλεγε απλά «δεν έχω καμήλες». Υπάρχει ένα μεγάλο λογικό άλμα από το «5 καμήλες» στο «5 πράγματα» και στο πιο αφαιρετικό «5». Η χρήση του μηδενός επέτρεψε το να σκεφτόμαστε για τα μαθηματικά σαν κάτι αφαιρετικό, παρά μόνο σαν μια μέθοδος μέτρησης αντικειμένων.
Πρώτη γνωστή απεικόνιση του μηδέν σαν δείκτης (δύο παράλληλες γραμμές), στην πόλη-κράτος Σουμέρ της Μεσοποταμίας, πριν 5.000 χρόνια.
Αργότερα, κάπου μεταξύ του 400 και 1200 μ.Χ. αναπτύχθηκε η έννοια του «μηδέν», και έγινε αποδεκτό ότι αυτό σημαίνει έναν αριθμό. Αν ακόμα σας φαίνεται παράξενη η καθυστερημένη αποδοχή του «μηδέν» ως αριθμού, αναλογιστείτε ότι για πολύ καιρό ούτε το «ένα» δε θεωρούνταν αριθμός, διότι επικρατούσε η άποψη ότι ένας αριθμός πραγμάτων πρέπει να σημαίνει πολλάπράγματα μαζί. Η βασική ιδέα στην προκειμένη περίπτωση ήταν η επινόηση ενός αριθμού για το «τίποτε». Η σημαντική ιδέα ήταν η έννοια ενός νέου είδους αριθμού, ο οποίος θα αντιπροσώπευε τη συγκεκριμένη ιδέα του «τίποτε».
Αρχικά, το μηδέν χρησιμοποιήθηκε περίπου σαν σημείο στίξης, σαν δείκτης, σαν ένα μέσο για να λυθεί το πρόβλημα γραφής ενός πολυψήφιου αριθμού. Χωρίς το μηδέν, ο αριθμός 2046 θα γραφόταν 246, αλλά το ίδιο και ο αριθμός 2460. Μόνο από τα συμφραζόμενα θα μπορούσε κανείς να καταλάβει για ποιον αριθμό ακριβώς μιλάμε. Αυτό μάλλον δεν είναι τόσο παράξενο όσο φαίνεται. Όταν σήμερα κάποιος μας απαντάει «Δυόμιση» στην ερώτηση «Πόσο κοστίζει ένα παγωτό;» καταλαβαίνουμε «2,5 ευρώ», ενώ η ίδια απάντηση στην ερώτηση «Τι ώρα είναι;» σημαίνει κάτι τελείως διαφορετικό. Τα συμφραζόμενα κάνουν όλη τη διαφορά. Εδώ δηλαδή το μηδέν δεν χρησιμοποιείται ακριβώς σαν αριθμός, αλλά σαν ένα σημάδι που μας δείχνει τι σημαίνει αυτό που αποτυπώνουμε στο χαρτί. Πιο συγκεκριμένα, ο αριθμός 2046 δηλώνει ότι έχουμε 1 χιλιάδα, 0 κατοστάδες, 4 δεκάδες και 6 μονάδες.
Η ανακάλυψη του μηδενός μας επέτρεψε να κατασκευάσουμε και τους αρνητικούς αριθμούς που επίσης δεν χρειαζόμασταν μέχρι κάποια περίοδο. Δεν χρειαζόταν να ξέρουμε τους αρνητικούς αριθμούς όταν μετρούσαμε καμήλες. Αρνητικές καμήλες θα σήμαινε μόνο χρέος σε καμήλες. Ο Φιμπονάτσι γύρω στο 1200 μ.Χ. επέτρεψε αρνητικά αποτελέσματα σε προβλήματα που τον απασχολούσαν σχετικά με οικονομικά θέματα, και τα ερμήνευσε σαν χρέος ή ζημία, αντί για το κέρδος που υποδηλώνει ένας θετικός αριθμός.
Παράδειγμα χρήσης του μηδέν στα αρχαία ελληνικά (κάτω δεξιά γωνία)
Οι αρχαίοι Έλληνες αν και κάνανε μεγάλες προόδους στα μαθηματικά, χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία σαν βάση για τις θεωρίες τους. Δεν χρειαζόταν να κατονομάσουν αφαιρετικά τους αριθμούς που χρησιμοποιούσαν, γιατί ασχολούνταν με το μήκος γραμμών και κυκλικών περιφερειών. Δεν αφομοίωσαν λοιπόν τον αριθμό μηδέν ούτε καν σαν δείκτη (όπως είχαν κάνει ήδη οι Βαβυλώνιοι). Υπήρχαν και εξαιρέσεις, όπως κάποιοι αστρονόμοι, αλλά και ο Πτολεμαίος τον 2ο μ.Χ. (στη «Μαθηματική Σύνταξη» -Almagest), που χρησιμοποίησε το σύμβολο «Ο», αλλά ακόμα μόνο σαν σημείο στίξης.
Οι Ινδοί το υιοθέτησαν, και τον 7ο αιώνα έκαναν την πρώτη χρήση των αρνητικών και δεκαδικών αριθμών, οδηγώντας το σε μια πιο εξεζητημένη μορφή, που προσομοιάζει τη σημερινή. Το χρησιμοποίησαν δηλαδή και σαναριθμό, σαν ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει κάτι (στην προκειμένη το τίποτα), όχι μόνο σαν δείκτης. Κάποιοι λένε ότι είναι η ιδέα του «τίποτα»¨ή της μηδαμινότητας («nothingness») των φιλοσοφικών κειμένων της ανατολής που εκφράστηκε στον αριθμό αυτό. Η λέξη «shunya» που σήμαινε «κενό, «τίποτα», κάτι σαν «λύτρωση», είναι η λέξη που χρησιμοποίησαν και για τον αριθμό «μηδέν». Οι Άραβες ήταν όμως αυτοί που εξέλιξαν τη χρήση του αναπτύσσοντας την άλγεβρα, και την εξάπλωσαν κατά τη λεγόμενη «Χρυσή Εποχή των Αράβων», μεταξύ 8ουκαι 12ου αιώνα περίπου (το αγγλικό ‘zero’ προέρχεται από το αραβικό ‘sifr’).
Ακριβώς στο κέντρο της εικόνας διακρίνουμε τον αριθμό «270», ακριβώς όπως τον γράφουμε σήμερα, και έχουμε εδώ την πρώτη απεικόνιση του μηδέν σαν αριθμού, στο ναό Ganesh στην πόλη Gwalior της Ινδίας (9ος αιώνας μ.Χ).
Η υιοθέτηση του μηδέν σε συνδυασμό με τους αραβικούς αριθμούς, που αντικατέστησαν τους λατινικούς, επέτρεψαν την γρήγορη και εύκολη, σύγχρονη μέθοδο πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Σκεφτείτε να κάναμε πράξεις με λατινικούς αριθμούς… Η εξάπλωσή τους όμως εμποδίστηκε από θρησκευτικές προκαταλήψεις, καθώς οι αραβικοί αριθμοί θεωρούνταν εύκολο να αλλοιωθούν με σκοπό την πλαστογραφία ή την απάτη (το 1 μετατρέπεται πολύ εύκολα σε 7) και οι αρνητικοί αριθμοί (που δεν θα είχαν «δημιουργηθεί» χωρίς την ανακάλυψη του μηδέν) θεωρήθηκαν βλάσφημοι, αφού συσχετίσθηκαν με το κέρδος από δανεισμό και την τοκογλυφία που δημιουργεί χρέος. Εξάλλου, η ανυπαρξία ταυτιζόταν με το χάος και το κενό, που θεωρούνταν τα συστατικά της κόλασης στην χριστιανική παράδοση. Η χρήση των αρνητικών αριθμών εξαπλώθηκε μόλις περί τον 16ο αιώνα.
Πηγές:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Zero.html
http://www.quora.com/Mathematics/Why-is-the-concept-of-zero-so-important-in-mathematics
http://www.smithsonianmag.com/smart-news/you-can-visit-the-worlds-oldest-zero-at-a-temple-in-india-2120286/
http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2013/oct/07/mathematics1
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/zero1.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/0_%28number%29#History
http://www.scientificamerican.com/article/what-is-the-origin-of-zer/
http://www.und.edu/instruct/lgeller/zeroph.html
Alex Bellos – Alex’s Adventures in Numberland
Ian Stewart – Οι Αριθμοί της Φύσης
eranistis.net
Σήμερα μας φαίνεται δεδομένο και αυταπόδεικτο, αλλά η ύπαρξη του «μηδέν» διέφευγε της σύλληψης μαθηματικών και φιλοσόφων επί αιώνες. Δεν είναι ξεκάθαρο πότε ανακαλύφθηκε ούτε από ποιον, εν μέρει επειδή η χρήση του έχει υποστεί αλλαγές με τον καιρό, αλλά και επειδή εμφανίστηκε σε πολλά μέρη του κόσμου, είτε σαν ανεξάρτητη ανακάλυψη είτε μεταπηδώντας από πολιτισμό σε πολιτισμό. Θεωρείται από τις μεγαλύτερες ανακαλύψεις της ανθρώπινης σκέψης, και χωρίς αυτό, τα μαθηματικά θα είχαν κολλήσει κάπου στο 600 μ.Χ., με την άλγεβρα να αδυνατεί να βρει τρόπο να επεκταθεί σε πραγματικά αφαιρετικές ιδέες που θα επέτρεπαν και τη χρήση των αρνητικών αριθμών, η χρησιμότητά των οποίων δεν είχε επισημανθεί στην αρχαιότητα.
Ενώ οι μαθηματικοί άρχισαν αν σκέφτονται την έννοια του μηδενός κατά το 3.000 π.Χ. (και να την απορρίπτουν), δεν ήταν πριν το 200-300 π.Χ. που οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα σύμβολο που εξελίχτηκε σε αυτό που ξέρουμε σήμερα σαν «μηδέν». Οι Βαβυλώνιοι άλλαξαν τη μορφή του συμβόλου αρκετές φορές, από δύο παράλληλες γραμμές μέχρι τα εξής:
Την εποχή που τα μαθηματικά ήταν μόνο μια μέθοδος για να μετράμε φυσικά αντικείμενα και να λύνουμε προβλήματα της άμεσης εμπειρίας μας, δεν είχε παρουσιαστεί η ανάγκη ύπαρξης τέτοιου συμβόλου. Για να πει κάποιος ότι έχει «0 καμήλες», θα έλεγε απλά «δεν έχω καμήλες». Υπάρχει ένα μεγάλο λογικό άλμα από το «5 καμήλες» στο «5 πράγματα» και στο πιο αφαιρετικό «5». Η χρήση του μηδενός επέτρεψε το να σκεφτόμαστε για τα μαθηματικά σαν κάτι αφαιρετικό, παρά μόνο σαν μια μέθοδος μέτρησης αντικειμένων.
Πρώτη γνωστή απεικόνιση του μηδέν σαν δείκτης (δύο παράλληλες γραμμές), στην πόλη-κράτος Σουμέρ της Μεσοποταμίας, πριν 5.000 χρόνια.
Αργότερα, κάπου μεταξύ του 400 και 1200 μ.Χ. αναπτύχθηκε η έννοια του «μηδέν», και έγινε αποδεκτό ότι αυτό σημαίνει έναν αριθμό. Αν ακόμα σας φαίνεται παράξενη η καθυστερημένη αποδοχή του «μηδέν» ως αριθμού, αναλογιστείτε ότι για πολύ καιρό ούτε το «ένα» δε θεωρούνταν αριθμός, διότι επικρατούσε η άποψη ότι ένας αριθμός πραγμάτων πρέπει να σημαίνει πολλάπράγματα μαζί. Η βασική ιδέα στην προκειμένη περίπτωση ήταν η επινόηση ενός αριθμού για το «τίποτε». Η σημαντική ιδέα ήταν η έννοια ενός νέου είδους αριθμού, ο οποίος θα αντιπροσώπευε τη συγκεκριμένη ιδέα του «τίποτε».
Αρχικά, το μηδέν χρησιμοποιήθηκε περίπου σαν σημείο στίξης, σαν δείκτης, σαν ένα μέσο για να λυθεί το πρόβλημα γραφής ενός πολυψήφιου αριθμού. Χωρίς το μηδέν, ο αριθμός 2046 θα γραφόταν 246, αλλά το ίδιο και ο αριθμός 2460. Μόνο από τα συμφραζόμενα θα μπορούσε κανείς να καταλάβει για ποιον αριθμό ακριβώς μιλάμε. Αυτό μάλλον δεν είναι τόσο παράξενο όσο φαίνεται. Όταν σήμερα κάποιος μας απαντάει «Δυόμιση» στην ερώτηση «Πόσο κοστίζει ένα παγωτό;» καταλαβαίνουμε «2,5 ευρώ», ενώ η ίδια απάντηση στην ερώτηση «Τι ώρα είναι;» σημαίνει κάτι τελείως διαφορετικό. Τα συμφραζόμενα κάνουν όλη τη διαφορά. Εδώ δηλαδή το μηδέν δεν χρησιμοποιείται ακριβώς σαν αριθμός, αλλά σαν ένα σημάδι που μας δείχνει τι σημαίνει αυτό που αποτυπώνουμε στο χαρτί. Πιο συγκεκριμένα, ο αριθμός 2046 δηλώνει ότι έχουμε 1 χιλιάδα, 0 κατοστάδες, 4 δεκάδες και 6 μονάδες.
Η ανακάλυψη του μηδενός μας επέτρεψε να κατασκευάσουμε και τους αρνητικούς αριθμούς που επίσης δεν χρειαζόμασταν μέχρι κάποια περίοδο. Δεν χρειαζόταν να ξέρουμε τους αρνητικούς αριθμούς όταν μετρούσαμε καμήλες. Αρνητικές καμήλες θα σήμαινε μόνο χρέος σε καμήλες. Ο Φιμπονάτσι γύρω στο 1200 μ.Χ. επέτρεψε αρνητικά αποτελέσματα σε προβλήματα που τον απασχολούσαν σχετικά με οικονομικά θέματα, και τα ερμήνευσε σαν χρέος ή ζημία, αντί για το κέρδος που υποδηλώνει ένας θετικός αριθμός.
Παράδειγμα χρήσης του μηδέν στα αρχαία ελληνικά (κάτω δεξιά γωνία)
Οι αρχαίοι Έλληνες αν και κάνανε μεγάλες προόδους στα μαθηματικά, χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία σαν βάση για τις θεωρίες τους. Δεν χρειαζόταν να κατονομάσουν αφαιρετικά τους αριθμούς που χρησιμοποιούσαν, γιατί ασχολούνταν με το μήκος γραμμών και κυκλικών περιφερειών. Δεν αφομοίωσαν λοιπόν τον αριθμό μηδέν ούτε καν σαν δείκτη (όπως είχαν κάνει ήδη οι Βαβυλώνιοι). Υπήρχαν και εξαιρέσεις, όπως κάποιοι αστρονόμοι, αλλά και ο Πτολεμαίος τον 2ο μ.Χ. (στη «Μαθηματική Σύνταξη» -Almagest), που χρησιμοποίησε το σύμβολο «Ο», αλλά ακόμα μόνο σαν σημείο στίξης.
Οι Ινδοί το υιοθέτησαν, και τον 7ο αιώνα έκαναν την πρώτη χρήση των αρνητικών και δεκαδικών αριθμών, οδηγώντας το σε μια πιο εξεζητημένη μορφή, που προσομοιάζει τη σημερινή. Το χρησιμοποίησαν δηλαδή και σαναριθμό, σαν ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει κάτι (στην προκειμένη το τίποτα), όχι μόνο σαν δείκτης. Κάποιοι λένε ότι είναι η ιδέα του «τίποτα»¨ή της μηδαμινότητας («nothingness») των φιλοσοφικών κειμένων της ανατολής που εκφράστηκε στον αριθμό αυτό. Η λέξη «shunya» που σήμαινε «κενό, «τίποτα», κάτι σαν «λύτρωση», είναι η λέξη που χρησιμοποίησαν και για τον αριθμό «μηδέν». Οι Άραβες ήταν όμως αυτοί που εξέλιξαν τη χρήση του αναπτύσσοντας την άλγεβρα, και την εξάπλωσαν κατά τη λεγόμενη «Χρυσή Εποχή των Αράβων», μεταξύ 8ουκαι 12ου αιώνα περίπου (το αγγλικό ‘zero’ προέρχεται από το αραβικό ‘sifr’).
Ακριβώς στο κέντρο της εικόνας διακρίνουμε τον αριθμό «270», ακριβώς όπως τον γράφουμε σήμερα, και έχουμε εδώ την πρώτη απεικόνιση του μηδέν σαν αριθμού, στο ναό Ganesh στην πόλη Gwalior της Ινδίας (9ος αιώνας μ.Χ).
Η υιοθέτηση του μηδέν σε συνδυασμό με τους αραβικούς αριθμούς, που αντικατέστησαν τους λατινικούς, επέτρεψαν την γρήγορη και εύκολη, σύγχρονη μέθοδο πολλαπλασιασμού και διαίρεσης. Σκεφτείτε να κάναμε πράξεις με λατινικούς αριθμούς… Η εξάπλωσή τους όμως εμποδίστηκε από θρησκευτικές προκαταλήψεις, καθώς οι αραβικοί αριθμοί θεωρούνταν εύκολο να αλλοιωθούν με σκοπό την πλαστογραφία ή την απάτη (το 1 μετατρέπεται πολύ εύκολα σε 7) και οι αρνητικοί αριθμοί (που δεν θα είχαν «δημιουργηθεί» χωρίς την ανακάλυψη του μηδέν) θεωρήθηκαν βλάσφημοι, αφού συσχετίσθηκαν με το κέρδος από δανεισμό και την τοκογλυφία που δημιουργεί χρέος. Εξάλλου, η ανυπαρξία ταυτιζόταν με το χάος και το κενό, που θεωρούνταν τα συστατικά της κόλασης στην χριστιανική παράδοση. Η χρήση των αρνητικών αριθμών εξαπλώθηκε μόλις περί τον 16ο αιώνα.
Πηγές:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Zero.html
http://www.quora.com/Mathematics/Why-is-the-concept-of-zero-so-important-in-mathematics
http://www.smithsonianmag.com/smart-news/you-can-visit-the-worlds-oldest-zero-at-a-temple-in-india-2120286/
http://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2013/oct/07/mathematics1
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/zero1.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/0_%28number%29#History
http://www.scientificamerican.com/article/what-is-the-origin-of-zer/
http://www.und.edu/instruct/lgeller/zeroph.html
Alex Bellos – Alex’s Adventures in Numberland
Ian Stewart – Οι Αριθμοί της Φύσης
eranistis.net